動(dòng)能和勢(shì)能都是能量的一種。動(dòng)能可以看作是由于外力作用于物體，導(dǎo)致該物體速度的增加而具有的能量。因此，動(dòng)能等于外力所作的功。同樣，彈性勢(shì)能也是由于外力作用于彈簧的一端，導(dǎo)致彈簧變形而具有的能量，同樣彈性勢(shì)能也應(yīng)等于外力所作的功。我們知道，外力做的功等于外力作用點(diǎn)在外力作用下移動(dòng)的距離。仔細(xì)觀察這兩種現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)它們的異同點(diǎn)。在增加動(dòng)能的例子中，我們可以舉兩種情況。一種是在一個(gè)恒定力作用下，物體從速度為零增加到v，這時(shí)，加速度為a = F/m，我們就可以知道需要的時(shí)間為t = v/a = mv/F。由于加速度不變，平均速度顯然是Vp = (0 + v)/2 = v/2。因此，外力的作用點(diǎn)移動(dòng)的距離，也就是物體移動(dòng)的距離等于l = mv/F * v/2 = (1/2)mv^2 /F。外力做的功為E = F * L = (1/2)mv^2。增加動(dòng)能的第二種例子，我們可以選擇一個(gè)變化的外力。我們可以假定這個(gè)力與物體移動(dòng)的距離滿足下式，方向指向l0所在位置，亦即F = k(l-l0)。建立以l0為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，則上式表達(dá)為F = -kx。這個(gè)力顯然是使物體從原來的起點(diǎn)-l0點(diǎn)向坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并在坐標(biāo)原點(diǎn)達(dá)到最大v，過l0點(diǎn)后開始減速。從零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到l0點(diǎn)，外力沿移動(dòng)方向上的平均值為Fp = kl0/2。變化的外力所做的功，也就是物體獲得的動(dòng)能應(yīng)該是E = Fp * l0 = (1/2)kl0^2。我們還可以計(jì)算每一位置的加速度為a = F/m = -(k/m)x。計(jì)算l0，也就是計(jì)算需要多長(zhǎng)距離可以加速到v呢？這個(gè)計(jì)算起來比較復(fù)雜，注意到dl/dt = v，a = dv/dt有x'' = -(k/m)x，x''代表x對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。最終可以計(jì)算出(邊界條件t=0，x=-l0) x(t) = -l0 * cos(((k/m)^(1/2))t)。過原點(diǎn)的時(shí)間是π/(2(k/m)^(1/2))。求導(dǎo)計(jì)算出速度公式v = l0 * (k/m)^(1/2)sin(((k/m)^(1/2))t)，v(t=0) = l0 * (k/m)^(1/2)。求解k，得到k = mv^2/l0^2。代入上面的獲得動(dòng)能計(jì)算公式得到E = (1/2)kl^2 = (1/2)mv^2/l0^2 * l^2 = (1/2)mv^2。由此可以得到E = (1/2)mv^2。作為增加彈性勢(shì)能的例子，教科書上有推導(dǎo)，類似于a的第二種情形。也就是平均彈力為最終彈力的一半，增加的彈性勢(shì)能為E = (1/2)kx^2。綜合a和b，我們似乎看不到什么結(jié)論，但是從數(shù)學(xué)角度來看，我們都用到了一個(gè)線性函數(shù)y = kx下邊圍的面積為題。這實(shí)際上是一個(gè)積分問題，在線性函數(shù)這種特例下轉(zhuǎn)換為了平均值乘以區(qū)間長(zhǎng)度。線性函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)（原點(diǎn)）為零，另一個(gè)端點(diǎn)達(dá)到最大kx，平均值恰巧是1/2kx，因此就有了S = (1/2)kx * x = (1/2)kx^2，彈力的是這樣，物體的動(dòng)能也是這樣。另外a中的第二種情況的物理意義時(shí)一根無質(zhì)量的彈簧可移動(dòng)的端點(diǎn)掛上一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，代表了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和彈簧的勢(shì)能的轉(zhuǎn)換。